Il est peut être paradoxal de se demander au 21e siècle : qu’est-ce qu’un nombre ? Surtout après un 20e siècle qui fut dédié aux mathématiques. Mais comprenons nous intimement ce qu’est un nombre ?
What does the irrational number mean in relation to the rational? For rational numbers, infinity is an always unattainable limit, a forever improbable magnitude, even if it is of the order of certainty, of permanent truth. With irrational numbers, on the contrary, at each of its points that limit comes up against rational numbers, almost physically, with the presence specific to numbers, thus liberating it from its abstract, linear and one-dimensional nature (from which its hypothetical status also proceeds), to confer a “spatial” totality and an obvious reality on it. In the form of the infinitesimal number, infinity is the secret spring, forever invisible, of the rational number and its visible reality. On the other hand, through the irrational number, infiinty is manifested, becomes visible, while forever remaining an alein reality: a number that is not a number, or so to speak a “non-number.”
Infinity: Qualitative and Quantitative
Lorsque nous les observons par le gros bout de la lorgnette, à savoir depuis l’angle des nombres entiers, la notion de nombre semble être claire et évidente : un nombre est une sorte de magnitude hiérarchisée qui peut être décrite en fonction de plusieurs bases et avec l’aide - dans chaque base - d’une variété de représentations. Ainsi le nombre 3 peut être décrit
En base 1 (unaire) : ||| (3 «batôns ») ou 0000 (si l’on commence à zero)
En base 2 (binaire) : 11
En base 3 (ternaire) : 10
Dans toutes les bases au dessus : 3 (en chifffres arabes) ou encore III (en chiffres romains)
(Mais une infinité d’autres représentations sont possibles)
L’ensemble de ces représentations décrit une « grandeur » identique : le nombre 3. Clair et évident !
Si, maintenant, nous observons cette « magnitude » sur le segment [0,1[, segment continu donc infini, nous voyons que nous pouvons toujours représenter « des » nombres. Ainsi le nombre que nous avons l’habitude de penser en base 10 (b10) : « 0.5 », peut se décrire en base 2(b2) « 0.1 » ce qui s’explique dans une description canonique où les coupures (à la manière de Dedekind) se font sur des segments égaux comme :
[0] U ]0,0.5[ U [0.5] U ]0.5, 1[ où (b2)0.0 => [0] et (b2)0.1 => [0.5] opération qui peut être continuée in-finiment pour décrire (b10)0.25 => (b2)0.01 et(b10)0.75 => (b2)0.11 etc.
(Il faut se rappeler cependant que [n] est en fait une magnitude hiérarchique et donc représente dans les faits le segment [0,n].)
Que ce passe t’il maintenant en base 3 canonique (b3) ?
Chaque niveau découpe le(s) segment(s) précédents en 3 parties égales
[0] U ]0,1/3[ U [1/3] U ]1/3,2/3[ U [2/3] U ]2/3,1[
(b10)1/3=>(b3)0.1, (b10)2/3=>(b3)0.2,(b10)1/9=>(b3)0.01,(b10)2/9=>(b3)0.02 etc.
Mais comment obtenir (b10)0.5 en (b3)?
Nous pouvons nous en approcher infiniment par une suite dichotomique de coupures, mais ce sera toujours par excès ou par défaut, jamais exact !
En y regardant de plus prés nous observons qu’il en est de même pour tout nombre de la (b3) en (b2). En pratique les nombres de chacune de ces bases peuvent être (in-finiement) approchés, mais jamais atteints.
Pourtant, toutes les représentations de (b2) se retrouvent dans (b3)
Du point de vue de la représentation, tout identité d’un nombre en (b2) existe en (b3) de manière exhaustive. Pourtant, aucun nombre (dans le sens de magnitude unique et hiérarchisée) de (b2) n’est désigné par quelque représentation que ce soit de (b3) et donc par les représentations de (b2) en (b3).
Non seulement il y a plus de nombres en (b3) qu’en (b2) alors qu’il y en a déjà une infinité en (b2), mais en plus ils sont tous différents.
Il n’est plus vrai de dire que la représentation – la base – est équivalente (et donc indifférente).
Alors existe-t-il des nombres qui sont irreprésentables ?
Si l’on observe bien, les nombres que nous venons de construire semblent correspondre aux rationnels puisqu’ils peuvent s’écrire a/b ou a est inclus dans [0, b [ et b>0, mais cette impression n’est due qu’à une habitude culturelle qui nous fait là encore penser à partir des entiers. En réalité, rien ne nous oblige à ne pas utiliser des nombres décimaux (ou pour être plus exact des nombres « à virgule ») !
Dans ce cas, même les irrationnels (ou leur inverse) sont accessibles.
Le plus paradigmatique d’entre eux Pi, par exemple, est seulement un rapport du diametre sur la circonférence.
Ce n’est pas dans la discrimination rationnel – irrationnel qu’il faut chercher des nombres irreprésentables.
Pourtant pour certaines bases (et il est assez facile de voir qu’il s’agit de toutes les bases correspondant à des nombres premiers et seulement celles-là) les coupures décrivent de nouveaux nombres qui n’avaient jamais été présentés auparavant.
Or nous savons qu’il n’y a pas de plus grand nombre premier puisque l’on peut toujours construire un nombre premier en multipliant tous les nombres premiers connus jusque là et en ajoutant 1.
Quelque soit l’ensemble des bases que nous observons à un instant, il est donc toujours possible de trouver un nombre qui n’y est pas décrit. Mais en contrepartie quelque soit le nombre que l’on se donne à l’avance, on peut trouver une base dans laquelle il est décrit. Il suffit de le décomposer en facteurs premiers.
On peut alors se demander si la notion de nombre est opératoire ?
Seule la notion de représentation peut effectivement être utilisée. La notion de nombre n’est alors qu’une croyance, une intuition sans sens précis que nous donne l’illusion de comprendre les entiers et leur pratique.