Les nombres entiers forment comme une allée dallée, une suite monodimensionnelle, ils sont dénombrables même si leur quantité est in-finie. Si l’on accole aux nombres entiers positifs des nombres entiers négatifs, cette nouvelle allée aux deux bouts in-finis est de nouveau dénombrable car on peut toujours replier les nombres négatifs sur les nombres positifs. Que nous ayons l’habitude de noter avec un «-», les dalles des allées négatives, n’en est qu’une confirmation.
Ce principe du pli peut être généralisé, on peut alors construire un champ d’allées constitué de nombres entiers positifs, ou de nombres entiers positifs et négatifs. Nous pouvons toujours replier ces allées sur la premiere. Nous obtenons ainsi des champs multidimensionnels de nombres dénombrables.
Maintenant pour chaque nombre entier (de l’allée principale), nous pouvons commencer une nouvelle allée parallèle (ou perpendiculaire pour mieux la visualiser). Nous savons l’allée principale dénombrable. Chaque allée perpendiculaire est individuellement dénombrable suivant le principe du pli. L’ensemble des allées principales et de toutes les allées perpendiculaires doit également etre considéré comme dénombrable car nous pouvons donner une représentation unique hiérarchique et contiguë à chaque dalle :
Si nous appellons « allée1 » l’ensemble des entiers positifs et négatifs de l’allée principale, nous pouvons noter « position dans l’allée1 » « . » « position dans l’allée2 » chaque dalle d’une allée perpendiculaire. Ainsi, puisque « 0 » désigne la première dalle de l’allée principale et « 1 » la seconde, « 0.0 » désigne la première dalle de l’allée la première allée perpendiculaire, « 0.1 » la seconde dalle, « 0.2 » la troisieme etc.
Cette démarche peut être continuée in-finiment entre une allée n et une allée n+1. « position dans l’allée1 » « . » « position dans l’allée2 » « . » « position dans l’allée3 » donnant une représentation unique hérarchique et contiguë de toutes dalles des allées 3, ainsi « 0.1.1 » désigne la deuxieme dalle dans la 3eme alléé de la deuxieme dalle dans la 2eme allée de la premiere dalle de la première allée etc.
Théoreme :
Tout ce qui peut être mis sous la forme ai.bj.ck….nn . (où ai, bj, ck,… nn sont des entiers) est dénombrable.
Maintenant, si nous construisons une série in-finie d’allées d’allées, il est clair qu’à chaque étape la série est dénombrable puisqu’elle respecte le théoreme précédent. N’importe quelle dalle de n’importe quelle allée peut être désignée de manière unique, hiérarchique et contiguëe. Nous pourrons donc considérer la série entière comme dénombrable (même si nous ne pouvons pas la considérer comme un tout puisqu’elle ne peut jamais être achevée).