Classiquement, l’infini est défini sous deux aspects : l’infini actuel qui considère l’ « objet » infini comme donné dans son entièreté, l’infini potentiel qui considère l’ « objet » infini comme but-à-atteindre. Ces deux définitions pêchent l’une par excès en voyant l’infini comme terminé, l’autre par défaut, en donnant une valeur par défaut à l’infini considéré comme le terme à atteindre. Les deux définitions manquent donc la caractéristique essentielle de l’infini, à savoir qu’il est toujours déjà en devenir. Aucun terme ne peut être affecté à l’infini sans en manquer l’essence même qui est « sans-terme », « sans-fin ». L’infini est une pratique, une pratique qui ne cesse d’être en pratique. L’infini est donc un in-fini, une pratique sans fin. Une pratique sans fin, mais jalonnée d’étapes intermédiaires identifiables. L’in-fini est une pratique qui donne sans fins et non une pratique qui donne à la fin. Pour la machine, l’in-fini est donc une opération qui commence dès 1 !
In-fini jusque là
Les mathématiques de la machine sont dynamiques. « cette-fois-ci » suit « cette-fois-là » dans un oubli radical. Mais dans le même temps, même si le résultat d’un calcul est nécessaire et impliqué par la question, il peut être dans le geste de « cette-fois-ci » une surprise à venir. Etre encore une inconnue. Il est alors seulement possible de dire que ce résultat est dans l’état de « cette-fois-ci » encore possible. Il reste « encore possible » tant qu’aucun résultat contraire n’est atteint. Un calcul in-fini est un calcul qui reste quelque soit « cette-fois-ci » dans l’état du « encore possible ». Seulement, on perçoit immédiatement la faiblesse de rigueur de cet argument, s’il est possible de dire le « encore possible » des « cette-fois-là » révolues en les inscrivant en « cette-fois-ci », comment affirmer le « encore possible » des étapes non encore calculées ? Il faut alors déterminer l’ « in-fini jusque là », par l’inscription de « cette-fois-là » en « cette-fois-ci » des « encore possible » et déterminer son « non-arrêt certain ». L’in-fini est tel dés que l’on peut prouver le non-arrêt. Dans notre exemple de « réels par coupure », c’est l’absence d’instruction d’arrêt, dans une procédure identique à chaque échelle –ce qu’un mathématicien appellerais « récursive », mais qui demande encore pour nous à être défini-, qui garanti le non-arrêt et l’identité d’in-fini.
une précision indifférente mais définie
La précision – le nombre de décimales identifiées – augmente à chaque changement d’échelle, mais reste défini : leur nombre peut être donné pour chaque échelle. Que nous soyons dans une pratique in-finie, n’implique que la répétition à chaque échelle, pas un éventuel changement de nature à « l’infini » par exemple. Alors existe-t-il une partie d’un segment ‘.x…’ qui ne soit pas atteint par une coupure ?
Une représentation dynamique et récursive (variation d’echelle)
Le segment [0,1] à la base de notre exemple de coupure a été choisi arbitrairement et il n’est pas nécessaire d’en déterminer la longueur. Ce qui signifie que nous pourrions prendre n’importe quel segment ‘.x…’ entre deux coupures et l’appeler [0,1] ! Une conclusion rapide pourrait faire croire qu’il y a le même nombre de coupures dans les deux segments. Idée renforcée par la constatation de leur dénombrabilité. Mais pour la machine, l’in-fini est une pratique sans fin : il n’y a pas de sens à affecter une magnitude déterminée et finie (aussi grande soit elle) à une in-finité ! Au mieux serait-il possible de déterminer dans les séries des différences… ce qui n’est pas le cas ici. Mais dans le même temps, cela démontre que si une coupure ne peut atteindre une partie d’un segment ‘.x…’, elle ne peut également atteindre la même partie du segment [0,1].