La non-Mondaine

Je ne comprends pas. e dois donc avoir une représentation erronée de ce qui est présenté.

Il me semblait que le procédé de création d coupure était in-fini. Si c’est le cas, il n’y a pas de nombre dont on ne puisse s’approcher “à epsilon près” par une méthode qui couperait chaque segment exactement en son milieu.

Donc je ne vois pas du tout pourquoi il est important de dire qu’en base n, il y a n-1 coupures. Sur un segment à une échelle donnée, oui. Mais comme on peut passer à l’échelle suivante, on va alors taper dans les segments pour y créer de nouvelles coupures (n-1 par segment). On s’approche ainsi indéfiniment de tout nombre - c’est même garantie par le fait qu’on coupe chaque fois au milieu pile, ça ne le serait pas si on s’autorisait à couper n’importe où.

Dit autrement : je ne vois pas la nécessité d’une augmentation locale de la base, et je ne vois pas du tout quels sont ces segments qui ne sont pas atteints dans une base donnée d’avance.

En quoi ma perception est-elle erronée ?

le procédé est in-fini mais quand on s’interresse à des nombres également in-finis rien n’interdit de les considérer comme trouvés quand la précision est suffisante (c’est ce que signifie epsilon en mathématique classique).

imaginons que nous cherchions pi/4

de coupures en coupures, nous allons isoler des segments qui le représente de plus en plus précisément - c’est la méthode dichotomique - mais comme ce nombre est in-fini, nous ne pourrions pas dire avec rigueur que nous l’avons trouvé, pourtant nous pouvons en avoir une représentation suffisante pour notre usage…

Remarque : au 4eme segment nous avons eu besoin de 3 coupures, puis 1, puis 2, puis 1 nous sommes donc en base fractionnelle 4.2.3.2… et en base in-finie le nombre 0.2.0.1.0… est une représentation de pi/4

Mon problème tenait à la compréhension de la nécessité de la base fractionnaire, du fait qu’il y aurait des nombres (situés sur le segment initial, donc) non atteignables par la méthode classique.

Je comprends bien le principe de la base fractionnaire, encore que je n’en voie bien pas les propriétés. Mais je n’en comprends pas la nécessité, parce que je ne vois pas en quoi un nombre du segment [0, 1] pourrait ne pas être atteint par une division stricte des sous segments en intervalles de longueur égale.

En particulier de pi/4 : il est parfaitement loisible de le représenter en base 2, ou 3, ou 4, ou n fixé quelconque.

En quoi l’inégalité des divisions proposées dans l’exemple ci-dessus s’imposait-elle ? Qu’elle soit possible, l’exemple donné le montre clairement, mais nécessaire ?

En quoi est il nécessaire de dire d’un nombre qu’il est pair (ou impair) ? de dire qu’il est premier ?
il n’y a jamais aucune nécessité en soi.
c’est seulement pratique à l’usage.
Ainsi dans notre cas, définir une base fractionnelle permet de savoir combien de symboles minimums nous avons besoin pour représenter un nombre dans la base in-fini.
est-ce nécéssaire ?

Quand a représenter pi/4 dans une base fixée (classique) (ou une base entière n (machinique) sans utiliser de nombres incertains), c’est une hallucination. Ce que l’on croit alors représenter n’est même pas une approximation, mais une assignation à identité : ceci est Pi/4 car je vous le dis, acte de foi comparable à la pratique religieuse.

On peut remarquer que l’utilisation des nombres incertains corrige cet état, mais n’accroit aucunement la précision de la description.

Par ailleurs, si je comprend bien la question, essayez donc de construire une machine qui coupe in-finiment en segments égaux de plus en plus nombreux, vous verrez qu’elle est beaucoup plus complexe que celle-ci sans aucun avantage. De plus, l’effet d’accélération de cette forme de coupure peut avoir des avantages.
Sans compter, evidement, que le concept d’égalité est lui même à soumettre à questions.
Par exemple, puisqu’en coupant en segments égaux ou en segments géométriques, j’obtiens le même résultat, dois-je comprendre que les deux machines sont égales ?

Mmmh, je relis l’ensemble je crois que je comprends mieux.

[…] l’avions vu il y a quelques temps, l’aspect représentable des Réels peut également être mis sous la forme du théorème de dénombrabilité. Les réels en sont même […]